Thể tích tứ diện đều: khái niệm, công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Tứ diện là gì? Tứ diện đều là gì?

Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được ký hiệu là A, B, C, D.

Bất kỳ điểm nào trong số A, B, C, D cũng có thể được coi là đỉnh; Mặt tam giác đối diện với nó được gọi là đáy. Ví dụ, nếu chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy.

Khi tứ diện có các mặt bên đều là các hình tam giác đều thì ta có hình tứ diện đều. .

Tứ diện đều là một trong năm loại khối đa diện đều.

thể tích tứ diện đều cạnh a

Gọi tứ diện đều có cạnh a là ABCD.

Xem tứ diện đều ABCD cạnh a như hình chóp có đỉnh A và đáy là tam giác đều BCD. Diện tích mặt đáy là:

\(S_{BCD}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\)

Từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra chiều cao của hình chóp A.BCD là: \(h=AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=a\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Từ đó suy ra, khối tứ diện đều ABCD cạnh a có thể tích là: \(V=\frac{1}{3}S_{BCD}.h=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\)

Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Tứ diện ABCD đều cạnh a

Ta có:

\(S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

và \(h=AO=\sqrt{AB^{^{2}}-OB^{2}}=\sqrt{a^{2}-(\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2})^{^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Do đó, \(V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\)

Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều

Bài 17 trang 28 Hình học 12 Nâng cao

Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a

Cách giải:

Ta có: AA’B’D’ là tứ diện đều, suy ra đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A’B’D’ cạnh a.

Do đó:

\(A’H=\frac{2}{3}A’O’=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH^{2}=AA’^{2}-A’H^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{3}=\frac{2a^{2}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Suy ra:

Diện tích tam giác đều A’B’D’ là: \(S_{A’B’D’}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là: \(S_{A’B’C’D’}=2s_{B’C’D’}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)

Vậy thể tích khối hộp đã cho là: \(V=B.h=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}\)

Cách giải:

Xem thêm >>> Công thức tính thể tích khối chóp: Lý thuyết và Các dạng bài tập 

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí:

(Nguồn: www.youtube.com)

4.5

/

5

(

2

bình chọn

)

Please follow and like us: