Phương trình tích: định nghĩa, bài tập và cách giải phương trình tích

Tìm hiểu phương trình tích là gì?

Phương trình tích là những phương trình mà một vế là tích của những đa thức còn một vế bằng \( 0 \)

Ví dụ: \( (x^2-x+2)(x-3)=0 \)

\(f_1(x).f_2(x)…f_n(x)=0\) với \(f_i(x)\) là các hàm số của \( x \)

Nghiệm của phương trình là hợp của tập nghiệm của từng phương trình \( f_i(x)=0 \) với \( i=1,2,…n \)

Cách giải phương trình tích

Để giải các dạng toán về chủ đề này thì cách chung là chúng ta sẽ biến đổi vế trái để quy về dạng tích của các hàm số. Để biến đổi được thì chúng ta cần nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài toán: \( A(x) +B(x) =0 \)

Các bước làm :

• Bước 1 : Biến đổi \(A(x) = C(x).A_1(x)\) ; \(B(x) = C(x).B_1(x)\)

• Bước 2: Khi đó ta có : \(A(x)+B(x)= C(x)[A_1(x)+B_1(x)]\)

• Bước 3: Giải từng phương trình \(C(x)=0\) và \(A_1(x)+B_1(x)=0\)

Giải phương trình : \(x^2-4 + \frac{x-2}{3} =0\)

Phương trình đã cho tương đương với :

\((x-2)(x+2)+\frac{x-2}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x+2+\frac{1}{3})=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=2\\x=-\frac{7}{3} \end{array}\right.\)

Để sử dụng phương pháp này chúng ta cần nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

Ngoài ra chúng ta nên ghi nhớ thêm một số đẳng thức thường gặp :

\(a^4-b^4=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)\)

\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\)

\((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)\)

\((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

Giải phương trình : \(x^2+4x+4-\sqrt{2x+1}-(x-1)^2=0\)

ĐKXĐ: \( x \geq \frac{-1}{2} \)

Phương trình đã cho tương đương với :

\(\Leftrightarrow (x+2)^2-(x-1)^2-\sqrt{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow 3(2x+1)-\sqrt{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+1}.(3-\sqrt{2x+1})=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x+1=0\\3=\sqrt{2x+1} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{-1}{2}\\x=4 \end{array}\right.\)

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng định lý sau:

Nếu \( x=a \) là một nghiệm của phương trình \( f(x) =0 \) thì ta luôn có thể viết \( f(x) \) dưới dạng \( f(x) =(x-a).g(x) \)

Như vậy ở các bài toán phương trình tích thì chúng ta cần nhẩm được nghiệm nguyên \( a \) của phương trình rồi từ đó tách, ghép để làm xuất hiện nhân tử \( (x-a) \)

Bài toán : \(A(x)+B(x)+C(x)=0\)

Cách làm như sau : Chúng ta tách \(C(x)=C_1(x)+C_2(x)\) hợp lý sao cho \([A(x)+C_1(x)]\) và \([B(x)+C_2(x)]\) có nhân tử chung

Giải phương trình \(5x^3-7x+2=0\)

Nhẩm nghiệm thấy \( x=1 \) là nghiệm của phương trình nên ta cần tách để làm xuất hiện nhân tử \( (x-1) \)

Phương trình đã cho tương đương với

\(5x^3-5x-2x+2=0\)

\(\Leftrightarrow 5x(x^2-1)-2(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow 5x(x+1)(x-1)-2(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (5x^2+5x-2)(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5x^2+5x-2=0\\x=1 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{-1-\frac{\sqrt{13}}{5}}{2}\\ x=\frac{1-\frac{\sqrt{13}}{5}}{2}\\x=1 \end{array}\right.\)

Bài toán: \( A(x)+B(x)=0 \)

Cách làm như sau : Chúng ta thêm vào \( A(x) \) một đại lượng \( C(x) \) rồi bớt đi ở \( B(x) \) đại lượng \( C(x) \) sao cho \( A(x)+C(x) \) và \( B(x) -C(x) \) có nhân tử chung

Giải phương trình : \( x^3-x^2-4 =0 \)

Nhẩm nghiệm thấy \( x-2 \) là nghiệm của phương trình nên ta thêm bớt để làm xuất hiện nhân tử \( (x-2) \)

Phương trình đã cho tương đương với

\(x^3-2x^2+x^2-2x+2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x^2+x+2)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=2\\x^2+x+2=0 \end{array}\right.\)

Mặt khác \(x^2+x+2=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4} >0 \hspace{1cm} \forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( x=2 \)

Chú ý :Hầu hết trong các bài toán phương trình tích có nghiệm nguyên thì chúng cần nhẩm được nghiệm của phương trình đó rồi từ đó sử dụng các phương pháp hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.

Tìm hiểu bất phương trình tích là gì?

Tương tự như phương trình tích thì bất phương trình tích là các bất phương trình có một vế là tích của những đa thức còn một vế bằng \( 0 \). Dấu của bất phương trình có thể là \( >,< \) hoặc \( \leq , \geq \)

\( f_1(x).f_2(x)…f_n(x) >0 \)

Phương pháp giải:

• Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích nhân tử để biến đổi đưa bất phương trình về dạng như trên

• Bước 2: Tìm nghiệm của từng hàm số \( f_1(x); f_2(x); …; f_n(x) \)

• Bước 3: Lập bảng xét dấu và tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình: \(2x^2-(x-1)\sqrt{x+1}-2 \geq 0\)

ĐKXĐ: \( x \geq -1 \)

Bất phương trình đã cho tương đương với:

\(2(x^2-1)- (x-1)\sqrt{x+1} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2(x-1)(x+1)- (x-1)\sqrt{x+1} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x+1}(2-\sqrt{x+1})\geq 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Bài tập về phương trình tích nâng cao

Trong một số bài toán phức tạp , chúng ta đặt ẩn phụ \( y=f(x) \) thích hợp rồi sau đó phân tích nhân tử với hàm số hai ẩn \( x;y \) . Sau khi phân tích nhân tử xong chúng ta thay \( y \) bởi \( f(x) \) vào phương trình tích thu được.

Giải phương trình : \(x\sqrt{x}-\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{x}-x\sqrt{x+1}+x+2-2\sqrt{x+1}=0\)

ĐKXĐ: \( x \geq 0 \)

Ta có phương trình tương đương với :

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}-\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-1)-x(\sqrt{x+1}-1)+(x+1)-2\sqrt{x+1}+1=0\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}-\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-1)-x(\sqrt{x+1}-1) +(\sqrt{x+1}-1)^2=0\)

Đặt \( \sqrt{x+1}-1 =y \) . Thay vào phương trình đã cho ta có :

\(x\sqrt{x}-\sqrt{x}y-xy +y^2=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}(x-y)-y(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(\sqrt{x}-y)=0\)

Thay \( \sqrt{x+1}-1 =y \) vào ta có :

\((x+1-\sqrt{x+1})(\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1})=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1})=0\)

Ta có:

\(\sqrt{x+1}=0 \Leftrightarrow x=-1\) (loại)

\(\sqrt{x+1}-1=0\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn)

\(\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1}=0 \Rightarrow x+1+2\sqrt{x}=x+1\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm suy nhất \( x=0 \)

Phương pháp này thường được sử dụng để giải các phương trình bậc \( 4 \) mà ta không nhẩm được nghiệm nguyên. Nguyên lý của phương pháp này như sau :

Nếu hàm số bậc \( 4 \) phân tích được thành nhân tử thì nó sẽ phân tích được dưới dạng \((k_1x^2+ax+b)(k_2x^2+cx+d)\)

Thường trong các bài toán thì \(k_1=k_2=1\). Khi đó khai triển ta được

\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd\)

Như vậy với hàm số bậc \( 4 \) cho trước thì ta có thể đồng nhất các hệ số của từng hạng tử chứa \( x \) rồi giải hệ để tìm ra \( a,b,c,d \) rồi từ đó phân tích được thành nhân tử

Chú ý : Nếu \(k_1.k_2 \neq 1\) thì chúng ta khai triển gồm cả \( k_1;k_2 \) rồi giải hệ tìm \( k_1;k_2 \)

Trong các bài toán thường thì các hệ số \( a;b;c;d \) là các số nguyên

Giải phương trình : \(x4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3=0\) 

Giả sử ta phân tích được vế trái dưới dạng

\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \)

Khi đó ta có :

\(x^4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3 =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd\)

Đồng nhất hệ số ta được

\(\left\{\begin{matrix} a+c=-6\\ ac+b+d=12 \\ ad+bc=-14 \\ bd=3 \end{matrix}\right.\)

Vì \( bd =3 \) nên ta chọn \( b=1;d=3 \)

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} a+c=-6\\ ac=8 \\ 3a+c=-14 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a=-4\\ c=-2 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{\begin{matrix} a=-4\\ b=1 \\ c=-2 \\ d=1 \end{matrix}\right.\)

Như vậy phương trình đã cho tương đương với

\((x^2-4x+1)(x^2-2x+3)=0\)

Ta có:

\(x^2-4x+1= 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=2- \sqrt{3} \\x= 2+\sqrt{3} \end{array}\right.\)

\(x^2-2x+3 =(x-1)^2+2 > 0 \hspace {1cm} \forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\) hoặc \(x=2+\sqrt{3}\)

Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang

Rate this post

Please follow and like us: