[vted.vn] – tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh tỷ số thể tích khối đa diện

Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện trích từ các bài giảng Tính nhanh tỷ số thể tích của Khoá học COMBO X tại Vted.vn. Hy vọng bài viết hữu ích đối với quý thầy cô giáo và các bạn học sinh.

Công thức 1:Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}’$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}’}}{V}.$

A. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{3}{4}.$

B. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{3}.$

C. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2}.$

D. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{4}.$

Giải. Ta có $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}.$

Chọn đáp án D.

Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}’$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}’}}{V}.$

A. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{3}{4}.$

B. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{8}.$

C. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2}.$

D. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{4}.$

Giải. Ta có $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 2:Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{{A}_{1}}}{SA}.\frac{S{{B}_{1}}}{SB}.\frac{S{{C}_{1}}}{SC}.$

Công thức 3:Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $\frac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\frac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}…{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k).$

Công thức 4:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\frac{AM}{A{A}’}=x,\frac{BN}{B{B}’}=y,\frac{CP}{C{C}’}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}’,C{C}’$ sao cho $\dfrac{MB}{B{B}’}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}’}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?

A. $\dfrac{V}{3}.$

B. $\dfrac{3V}{8}.$

C. $\dfrac{V}{6}.$

D. $\dfrac{V}{4}.$

Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.

Công thức 5:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{AM}{A{A}’}=X,\frac{BN}{B{B}’}=y,\frac{CP}{C{C}’}=z,\frac{DQ}{D{D}’}=t$ ta có \({V_{ABCD.MNPQ}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A’B’C’D’}}\) và $x+z=y+t.$  

Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}’$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}’$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}’.$ Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}’$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng

A. $2{{a}^{3}}.$

B. $3{{a}^{3}}.$

C. $\frac{11}{3}{{a}^{3}}.$

D. $\frac{9}{4}{{a}^{3}}.$

Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}’}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}’}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}’},t=\dfrac{DP}{D{D}’}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$

Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 6:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp  tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z,\frac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$

A. $\frac{23}{30}V.$

B. $\frac{7}{30}V.$

C. $\frac{14}{15}V.$

D. $\frac{V}{15}.$

Giải. Ta có $x=\frac{SA}{SA}=1,y=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},z=\frac{SN}{SC},t=\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2+\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}.$

Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V=\frac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.

Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}’$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\frac{{{V}’}}{V}.$

A. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{8}{27}.$

B. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{27}.$

C. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{4}{27}.$

D. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{4}{9}.$

Giải. Gọi ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $\frac{{A}'{B}’}{AB}=\frac{{A}'{C}’}{AC}=\frac{{A}'{D}’}{AD}=\frac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}’$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{3}.$ 

Do đó  $\frac{{{V}’}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}.$Chọn đáp án B.

Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

1. PRO X 2020: Luyện thi THPT Quốc Gia 2020 – Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, Học sinh các khoá trước thi lại đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm. 
2. PRO XMAX 2020: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã hoàn thành chương trình kì I Toán 12 (tức đã hoàn thành Logarit và Thể tích khối đa diện) có trong Khoá PRO X. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
3. PRO XPLUS 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán gồm 20 đề 2020. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc. 
4. PRO XMIN 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.  

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân. 

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

TẢI VỀ BÀI VIẾT FULL CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỶ SỐ THỂ TÍCH TẠI VTED.VN