Bài tập đạo hàm có lời giải chi tiết

Lý thuyết đạo hàm

Tham khảo: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

bài tập đạo hàm

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài toán 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm – dạng 1

Phương pháp chung:

Cho hàm số: \(y = f(x)\).

Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\), ta xác định:

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0})\]

\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0})\]

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

\(f(x) = x^2 + 4x\) tại điểm \(x_0 = 2\)

Giải:

Ta có: \(f'(2) = \lim_{x\to 2 }(\frac{f(x) – f(2)}{x-2}) = \lim_{x\to 2 }(\frac{(x^2+4x) – 12}{x-2}) = \lim_{x\to 2 }(x+6) = 8\).

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

\(f(x) = \sqrt{2x+7}\) tại điểm \(x_0 = 1\)

Giải:

Ta có:

\[f'(1) = \lim_{x\to 1}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1}(\frac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1}) = \lim_{x\to 1}(\frac{2x+7-9}{(x-1)(\sqrt{2x+7}+3)}) = \lim_{x\to 1}(\frac{2}{(x-1)(\sqrt{2x+7}+3)}) = \frac{1}{3}\]

\[f'(1) = \lim_{x\to 1}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1}(\frac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1}) = \lim_{x\to 1}(\frac{2x+7-9}{(x-1)(\sqrt{2x+7}+3)}) = \lim_{x\to 1}(\frac{2}{(x-1)(\sqrt{2x+7}+3)}) = \frac{1}{3}\]

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

\(f(x) = x^2 – sinx\) tại điểm \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).

Giải:

Ta có: \(f'(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{f(x)-f(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{x^2-sinx-\frac{\pi^2}{4}+1}{x-\frac{\pi}{2}})\)

\(=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(x+\frac{\pi}{2})+\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{1-sinx}{x-\frac{\pi}{2}}) = L_1 + L_2\).

Với \(L_1\), ta được: \(L_1 = \pi\).

Với \(L_2\), bằng phép đổi biến \(t=\frac{\pi}{2}-x\), ta được:

\(L_2 = \lim_{t\to 0}(\frac{1-sin(\frac{\pi}{2}-t)}{-t}) = -\lim_{t\to 0}(\frac{1-cos(t)}{t}) = -\lim_{t\to 0}(\frac{2t.sin^2(\frac{t}{2})}{4(\frac{t}{2})^2}) = 0\).

Do đó: \(f'(\frac{\pi}{2}) = \pi\).

Bài tập:

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x_0:

1. \(f(x)=x+2\) với \(x_0=6\).
2. \(f(x)=x^3+2x^2-2x+1\) với \(x_0=-1\).
3. \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) với \(x_0=2\).
4. \(f(x)=\frac{2x-3}{x-1}\) với \(x_0=3\).
5. \(f(x)=\sqrt{3x+4}\) với \(x_0=-1\).
6. \(f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\) với \(x_0=0\).
7. \(f(x)=sinx+cos2x\) với \(x_0=0\).
8. \(f(x)=tgx+cotgx\) với \(x_0=\frac{\pi}{4}\).
9. \(f(x)=e^x+1\) với \(x_0=1\).
10. \(f(x)=2^x-3^(2x)\) với \(x_0=0\).
11. \(y=f(x)=sinx\) với \(x_0=0\). Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm \(x_0=0\).

Bài toán 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm – dạng 2

Phương pháp chung:

Cho hàm số:

• \(f(x) = f_1(x)\) khi \(x \neq x_0\).
• \(f(x) = f_2(x)\) khi \(x = x_0\).

Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\), ta xác định: \(f'(x_0) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f(x) – f(x_0)}{x-x_0}) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f_1(x) – f_2(x_0)}{x-x_0})\)

Ví dụ 1: Cho hàm số:

• \(f(x) = \frac{1-\sqrt{1-x}}{x}\) khi \(x \neq 0\).
• \(f(x) = \frac{1}{2}\) khi \(x = 0\). a. Chứng minh rằng \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\). b. Tính đạo hàm, nếu có, của \(f(x)\) tại điểm \(x=0\)

Giải:

a. Ta có: \(\lim_{x\to 0 }f(x) = \lim_{x\to 0 }(\frac{1-\sqrt{1-x}}{x})\) \(= \lim_{x\to 0 }(\frac{1-(1-x)}{x(1+\sqrt{1-x})}) = \lim_{x\to 0 }(\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}) = \frac{1}{2} = f(0)\) Vậy, hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\).

b. Ta có: \(f'(0) = \lim_{x\to 0 }(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0 }(\frac{\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}-\frac{1}{2}}{x}) = \lim_{x\to 0 }(\frac{2-x-2\sqrt{1-x}}{2x^2})\) \(= \lim_{x\to 0 }(\frac{1}{2(2-x+2\sqrt{1-x})}) = \frac{1}{8}\)

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

• \(f(x) = x^2cos\frac{1}{x}\) khi \(x \neq 0\).
• \(f(x) = 0\) khi \(x = 0\). tại điểm \(x_0=0\).

Giải:

Hàm số \(f(x)\) xác định trong một lân cận của \(x_0=0\).

Ta có: \(f'(0) = \lim_{x\to 0}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0}(x.cos\frac{1}{x})\).

Ta có:

• Với mọi \(x \neq 0\) thuộc lân cận của điểm 0 luôn có:
  • |\(xcos\frac{1}{x}\)|\(\leq\) |\(x\)| \(\Leftrightarrow -\)|\(x\)| \(\leq xcos\frac{1}{x} \leq\)|\(x\)|.
• Mặt khác \(\lim_{x\to 0}(-\)|\(x\)|\() = \lim_{x\to 0}(\)|\(x\)|\() = 0\).

Suy ra: \(\lim_{x\to 0}(xcos\frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow f'(0) = 0\).

Bài tập:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0=0\):

1. \(f(x) = \frac{sin^2x}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 0\) khi \(x=0\).
2. \(f(x) = \frac{1-cos2x}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 0\) khi \(x=0\).
3. \(f(x) = x^2cos\frac{1}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 0\) khi \(x=0\).
4. \(f(x) = \frac{tgx}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 1\) khi \(x=0\).
5. \(f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = \frac{1}{4}\) khi \(x=0\).

Bài toán 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm – dạng 3

Phương pháp chung:

Cho hàm số: \(f(x) = f_1(x)\) khi \(x < x_0\) và \(f(x) = f_2(x)\) khi \(x \geq x_0\).

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm \(x_0\), ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x_0\).
• Bước 2: (Đạo hàm bên trái) Tính: \(f'({x_0^-}) = \lim_{x\to {x_0^-}}(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})\)
• Bước 3: (Đạo hàm bên phải) Tính: \(f'({x_0^+}) = \lim_{x\to {x_0^+}}(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})\)
• Bước 4: Đánh giá hoặc giải \(f'({x_0^-}) = f'({x_0^+})\), từ đó đưa ra lời kết luận.

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: \(y = f(x) = e^x\) khi \(x \geq 0\) và \(y = f(x) = x^2 + x + 1\) khi \(x<0\) tại điểm \(x_0 = 0\).

Giải:

Ta lần lượt có:

• Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm \(x_0=0\).

\[f'(0^-) = \lim_{x\to 0^-}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0^-}(\frac{x^2+x+1-e^0}{x}) = 1\]

• Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm \(x_0=0\).

\[f'(0^+) = \lim_{x\to 0^+}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0^+}(\frac{e^x-e^0}{x}) = 1\]

\[f'(0^-) = \lim_{x\to 0^-}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0^-}(\frac{x^2+x+1-e^0}{x}) = 1\]\[f'(0^+) = \lim_{x\to 0^+}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0^+}(\frac{e^x-e^0}{x}) = 1\]

Nhận xét rằng: \(f'(0^-)=f'(0+)=1\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0=0\) và \(f'(0)=1\).

Ví dụ 2: Cho hàm số: \(f(x) = x^2\) khi \(x \leq 1\) và \(f(x) = ax + b\) khi \(x > 1\). Tìm a, b để \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).

Giải:

Để hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\), trước hết \(f(x)\) phải liên tục tại \(x = 1\), do đó:

Biểu thức (1)

\[\lim_{x\to 1^-}(f(x)) = \lim_{x\to 1^+}(f(x)) = f(1) \Leftrightarrow a + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 – a\]

• Đạo hàm bên trái của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=1\).

\[f'(1^-) = \lim_{x\to 1^-}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1^-}(\frac{x^2-1}{x-1}) = 2\]

• Đạo hàm bên trái của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=1\).

\[f'(1^+) = \lim_{x\to 1^+}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1^+}(\frac{ax+b-1}{x-1}) = \lim_{x\to 1^+}(\frac{ax+1-a-1}{x-1}) = a\]

\[\lim_{x\to 1^-}(f(x)) = \lim_{x\to 1^+}(f(x)) = f(1) \Leftrightarrow a + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 – a\]\[f'(1^-) = \lim_{x\to 1^-}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1^-}(\frac{x^2-1}{x-1}) = 2\]\[f'(1^+) = \lim_{x\to 1^+}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1^+}(\frac{ax+b-1}{x-1}) = \lim_{x\to 1^+}(\frac{ax+1-a-1}{x-1}) = a\]

Biểu thức (2)

Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\) khi và chỉ khi \(f'(1^-) = f'(1^+) \Leftrightarrow a = 2\).

Thay (2) vào (1), ta được \(b = -1\).

Vậy, hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 1\), nếu và chỉ nếu \(a = 2\), \(b = -1\).

Bài tập:

1. Tìm \(a\), \(b\) để hàm số sau có đạo hàm tại điểm \(x = 1\): \(f(x) = x^2\) khi \(x \leq 1\) VÀ \(f(x) = -x^2 + ax + b\) khi \(x > 1\).
2. Tìm \(a\) để hàm số sau có đạo hàm tại \(x = 0\): \(f(x) = e^x\) khi \(x \geq 0\) VÀ \(f(x) = x^2 + a\) khi \(x < 0\).
3. Tìm \(a\) để hàm số sau có đạo hàm tại \(x = 0\): \(f(x) = (x+1)e^{-x}\) khi \(x > 0\) và \(f(x) = -x^2 – ax + 1\) khi \(x \leq 0\).
4. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: f(x) = x / (1-|x|) tại điểm \(x = 0\).
5. Cho hàm số \(y =\)|\(x-1\)|. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại \(x = 1\) nhưng không có đạo hàm tại điểm này.
6. Cho hàm số: \(y =\)|\(x^2 + 4x + 3\)|.
   • a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0 = -1\).
   • b. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0 = -3\).

Bài toán 4: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng – dạng 4

Phương pháp chung:

Để tính đạo hàm của hàm số: \(y = f(x)\) trên khoảng (a,b) bằng định nghĩa, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tính \(\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)\). Lập tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
• Bước 2: Tìm \(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\).

Chú ý:

1. Cần lưu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi như cố định còn \(\Delta x\) thì tiến tới 0.
2. Nếu khoảng (a,b) bằng đoạn [a,b], ta thực hiện theo các bước sau.
   1. Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) trong khoảng (a,b).
   2. Tính đạo hàm bên phải của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm a.
   3. Tính đạo hàm bên trái của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm b.

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: \(f(x) = \sqrt x\).

Giải:

Cho x một số gia \(\Delta x\), ta có:

\[\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = \sqrt{x + \Delta x} – \sqrt{x} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} – \sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{x + \Delta x – x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}\]

\[\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = \sqrt{x + \Delta x} – \sqrt{x} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} – \sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{x + \Delta x – x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}\]

Do đó:

\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Vậy, ta được \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: \(f(x) = cos2x\).

Giải:

Cho x một số gia \(\Delta x\), ta có:

\[\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = cos2(x + \Delta x) – cos2x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{cos2(x + \Delta x) – cos2x}{\Delta x} = -\frac{2sin(2x + \Delta x).sin\Delta x}{\Delta x}\]

\[\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = cos2(x + \Delta x) – cos2x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{cos2(x + \Delta x) – cos2x}{\Delta x} = -\frac{2sin(2x + \Delta x).sin\Delta x}{\Delta x}\]

Do đó:

\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} [-2sin(2x + \Delta x).\frac{sin\Delta x}{\Delta x}] = -2sin2x\]

\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} [-2sin(2x + \Delta x).\frac{sin\Delta x}{\Delta x}] = -2sin2x\]

Vậy, ta được \(f'(x) = -2sin2x\).

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: \(f(x) = 2000^x\).

Giải:

Cho x một số gia \(\Delta x\), ta có:

\[\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = 2000^{x + \Delta x} – 2000^x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2000^{x + \Delta x} – 2000^x}{\Delta x} = 2000^{x}.\frac{2000^{\Delta x} – 1}{\Delta x} = 2000^{x}.ln2000.\frac{e^{\Delta x ln2000} – 1}{\Delta x.ln2000}\]

\[\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = 2000^{x + \Delta x} – 2000^x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2000^{x + \Delta x} – 2000^x}{\Delta x} = 2000^{x}.\frac{2000^{\Delta x} – 1}{\Delta x} = 2000^{x}.ln2000.\frac{e^{\Delta x ln2000} – 1}{\Delta x.ln2000}\]

Do đó:

\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 2000^{x}.ln2000 \Rightarrow y’ = 2000^{x}.ln2000\]

\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 2000^{x}.ln2000 \Rightarrow y’ = 2000^{x}.ln2000\]

Bài tập:

Bài tập 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = c$$, với c là hằng số.

b. $$f(x) = x$$.

c. $$f(x) = x^3$$.

d. $$f(x) = x^{n}$$, với $$n  \geq 2, n  \in N$$.

Bài tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = 2x + 3$$.

b. $$f(x) = x^2 + x + 1$$.

c. $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 1$$.

Bài tập 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = \frac{1}{x}$$.

b. $$f(x) = \frac{x + 1}{x}$$.

c. $$f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$$.

d. $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$$.

Bài tập 4: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = \sqrt{2x + 1}$$.

b. $$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$$.

c. $$f(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}$$.

d. $$f(x) = \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x}$$.

Bài tập 5: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = sin2x$$.

b. $$f(x) = sinx - cosx$$.

c. $$f(x) = tgx - cotgx$$.

d. $$f(x) = sinx.cos2x$$.

Bài tập 6: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = x.sin2x$$.

b. $$f(x) = x.cotgx$$.

Bài tập 7: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = e^x$$.

b. $$f(x) = e^{2x + 1}$$.

c. $$f(x) = a^x$$.

d. $$f(x) = 2018^x$$.

Bài tập 8: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = lnx$$.

b. $$f(x) = ln(x^2 + 1)$$.

c. $$f(x) = log_2(x + 1)$$.

d. $$f(x) = log_x(x^2 + 1)$$.

Bài toán 5: Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm

Phương pháp chung:

Sử dụng các kết quả:

• Hệ số góc \(k\) của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C): y = f(x)\), biết M, N theo thứ tự có hoàng độ \(x_M, x_N\) được cho bởi:

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) – f(x_N)}{x_M – x_N}\]

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0, f(x_0))\) là:

\[y – y_0 = y'(x_0)(x – x_0)\]

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) – f(x_N)}{x_M – x_N}\]\[y – y_0 = y'(x_0)(x – x_0)\]

Ví dụ 1: Tìm hệ số góc của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C)\), biết:

a. $$(C): y = x^2 - 2x$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 2, x_N = 1$$.

b. $$(C): y = \frac{x^2 + x + 1}{x}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 1$$, $$x_N = 3$$.

Giải:

Gọi \(k\) là hệ số góc của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C)\).

a. Ta có ngay:

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) – f(x_N)}{x_M – x_N} = \frac{(2^2 – 2.2) – (1^2 – 2.1)}{2 – 1} = 1\]

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) – f(x_N)}{x_M – x_N} = \frac{(2^2 – 2.2) – (1^2 – 2.1)}{2 – 1} = 1\]

b. Ta có ngay:

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) – f(x_N)}{x_M – x_N} = \frac{\frac{1^2 + 1 + 1}{1} – \frac{3^2 + 3 + 1}{3}}{1 – 3} = \frac{2}{3}\]

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) – f(x_N)}{x_M – x_N} = \frac{\frac{1^2 + 1 + 1}{1} – \frac{3^2 + 3 + 1}{3}}{1 – 3} = \frac{2}{3}\]

Ví dụ 2: Cho đường cong: \((C): y = \sqrt{x}\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\):

a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng $$(\Delta): x - 4y + 3 = 0$$.

Giải:

Hàm số \(y = \sqrt{x}\) có \(y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

a. Từ điều kiện hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1, ta được:

\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 <=> \sqrt{x} = \frac{1}{2} <=> x = \frac{1}{4}\]

\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 <=> \sqrt{x} = \frac{1}{2} <=> x = \frac{1}{4}\]

Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:

\[(d): y – y(\frac{1}{4}) = 1.(x – \frac{1}{4}) <=> (d): y – \frac{1}{2} = x – \frac{1}{4} <=> (d): y = x + \frac{1}{4}\]

\[(d): y – y(\frac{1}{4}) = 1.(x – \frac{1}{4}) <=> (d): y – \frac{1}{2} = x – \frac{1}{4} <=> (d): y = x + \frac{1}{4}\]

b. Đường thẳng \((\Delta)\) có hệ số góc \(k = \frac{1}{4}\).

Tiếp tuyến của \((C)\) song song với đường thẳng \((\Delta)\) nên có hệ số góc \(k = \frac{1}{4}\), do đó:

\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4} <=> \sqrt{x} = 2 <=> x = 4\]

\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4} <=> \sqrt{x} = 2 <=> x = 4\]

Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:

\[(d) y – y(4) = \frac{1}{4}.(x-4) <=> (d): 4(y-2) = x – 4 <=> (d): x – 4y + 4 = 0\]

\[(d) y – y(4) = \frac{1}{4}.(x-4) <=> (d): 4(y-2) = x – 4 <=> (d): x – 4y + 4 = 0\]

*Bài tập**:

Bài tập 1: Tìm hệ số góc của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C)\), biết:

a. $$(C): y = x^2 - x + 1$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 1$$, $$x_N = 2$$.

b. $$(C): y = x^3 - x$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 0$$, $$x_N = 3$$.

c. $$(C): y = \frac{x-1}{x+1}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 0$$, $$x_N = 2$$.

d. $$(C): y = \frac{x^2 + x}{x - 1}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = -4$$, $$x_N = -1$$.

Bài tập 2: Cho đường cong: \((C): y = x^2\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\):

a. Tại điểm $$M(2,4)$$.

b. Tại điểm có hoành độ bằng 1.

c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.

Bài tập 3: Cho đường cong: \((C): y = x^3\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\):

a. Tại điểm $$M(-1,-1)$$.

b. Tại điểm có hoành độ bằng 3.

c. Tại giao điểm của $$(C)$$ với trục hoành.

d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Bài tập 4: Cho đường cong: \((C): y = \frac{x + 2}{x – 2}\).

a. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại $$x_0 = 1$$.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $$(C)$$ tại điểm có hoành độ bằng 1.

Hãy like share FB của ad để nhận thông tin về những bài post mới nha ^^: Minh

Các bài toán trong bài post của ad được lấy từ cuốn sách cực kỳ hay của tác giả Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn, các bạn nên mua cuốn sách đó về học sẽ rất hay và có nhiều nội dung nâng cao. Các hình chụp về sách:

Các bạn có thể thảo luận các bài tập không đưa đáp án ở mục bình luận bên dưới :D.

Các bài viết tham khảo thêm về Toán học: