7 hằng đẳng thức đáng nhớ – đại số 8

Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ:

1, (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2, (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

3, A2 – B2 = (A + B)(A – B)

4, (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

5, (A – B)3 = A3 –  3A2B + 3AB2 –  B3

6, A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7, A3 – B3  = (A –  B)(A2 + AB + B2)

*Chú ý:

Các công thức 4) và 5) còn được viết dưới dạng:

(A + B)3 = A3 + B3 +  3AB(A + B)

(A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B)

Từ công thức 1) và 2) ta suy ra các công thức:

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC

(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC

(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ khai triển biểu thức

Ví dụ 1: Khai triển:

a) (5x + 3yz)2 = 25×2 + 30xyz + 9y2z2

b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2

c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2

d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8×3 – 36×2 + 54x – 27

e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

g) (x2 + 3)(x4 + 9 – 3×2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27

h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a) A = (x + y)2 – (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2  = 4xy

Hoặc:  A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy

b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 – 2×2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2

c) C = (x + y)3 – (x – y)3 – 2y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3

= 6x2y

Ví dụ 3: Chứng minh:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2

= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 4: Chứng minh:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT

Áp dụng: Tìm tổng lập phương của hai số biết rằng tích hai số đó bằng 6 và tổng hai số đó bằng – 5

Gọi hai số đó là a và b thì ta có:

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = – 125 + 90 = -35

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Ta có: VP = a3 –  3a2b + 3ab2 –  b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3

Ví dụ 5: Tính nhanh:

a) 1532 + 94 .153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000

b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500

c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = 1

d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 =
= (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 =

= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 =

= (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1 =

= …

= (220 – 1)(220 + 1) + 1 = 240 – 1 + 1 = 240

Bài tập áp dụng

Hằng đẳng thức có vai trò rất quan trọng trong môn Toán, từ lớp 8 trở đi, các em được áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải Toán.

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:

a)

b) 16×2 – 8x + 1 = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2

c) 4×2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2

d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1 = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + 1

= (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + 1

= (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + 1

= (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12

= (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2

e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + 2
= x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + 2 + 2

= x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2

g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + 4 = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + 4
= x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y

= (x – y – 2 )2

h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2
= (x + y + 1)2

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu:

a) x3 + 3×2 + 3x + 1 = (x + 1)3

b)

c) 8×6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2×2)3 + 3.(2×2)2.y + 3.(2×2).y2 + y3 = (2×2 + y)3

d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + 3 – 2x – 5)2 = (-2)2 = 4

b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x)(x2 – 1)

= [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1)

= (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1)

= (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2

= x6 + x4 – x2 – 1 – x4 + x2 = x6 – 1

c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
= a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2

= 2a2

d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc

= 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2)

Bài 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu *

a) 8×3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
= (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3

= 8×3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3

b) 8×3 + 12x2y + * + * = (* + *)3
= (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

= 8×3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3

c) x3 – * + * – * = (* – 2y)3
= x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3

Bài 5: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có:

a) – x2 + 4x – 5 < 0
Ta có: – x2 + 4x – 5 = – (x2 – 4x + 5) = – (x2 – 4x + 4 + 1) = – [(x – 2)2 + 1]

Mà (x – 2)2 ≥ 0 nên (x – 2)2 + 1 > 0

Do đó – [(x – 2)2 + 1] < 0 với mọi giá trị của biến x

b) x4 + 3×2 + 3 > 0
Ta có: x4 ≥ 0 ; 3×2 ≥ 0 nên x4 + 3×2 + 3 > 0 , với mọi x

c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0
Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3 + 1) + 3

= (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + 1 + 2 = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + 5

= (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5

Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0;  (x + 1)2 ≥ 0

nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 > 0 , với mọi x

Bài 6: So sánh:

a) 2003.2005 và 20042
Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 < 20042

b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)
Ta có: 716 – 1 = (78)2 – 1 = (78 + 1)(78 – 1)

= (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1)

= (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) =

=(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8

Bài 7: Cho a – b = m ; a.b = n .Tính theo m, n giá trị của các biểu thức sau:

a) (a + b)2 = (a 2 + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab
Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta được :

(a + b)2 = m2 + 4n

b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n

c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n)

Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q . Tìm theo p,q giá trị của các biểu thức sau:

a) a.b = ?
Ta có:  (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

⇒

b)